Dr hab. inż. Wiesław ŚRÓDKA

Wydziałowy Zakład Wytrzymałości Materiałów PWr

Zagadki ludzkiego oka

Okazuje się, że ten układ optyczny jest jeszcze bardziej złożony, niż sądziliśmy.

I. Klasyczny, czyli nieaktualny

Oko wydaje się nieskomplikowanym układem optycznym. W uproszczeniu składa się ono z dwóch soczewek, jedna w drugiej. Sterowanie mocą optyczną tego układu także wydaje się do końca poznane. Objaśnienie mechanizmu akomodacji, podane w XIX w. przez Helmholtza, przetrwało do dzisiaj. Rogówka, najsilniejszy element optyczny tego układu, jest nieodkształcalną soczewką, nie wchodzi więc w skład tego mechanizmu. Obydwie soczewki osadzone są w twardówce, która, zgodnie ze swoją nazwą, pełni jedynie rolę obudowy. Ta klasyczna wizja optyki oka ciągle obowiązuje w okulistyce. Pojawiają się jednak symptomy wskazujące na fakt, że jej czas już dobiega końca.

Eksperymentalne badania mechaniki i optyki ludzkiej gałki ocznej trwają już ponad sto lat. Prowadzone zasadniczo dla potrzeb klinicznych, pozwoliły uzyskać podstawową wiedzę umożliwiającą wykonywanie badań o dużym znaczeniu diagnostycznym. Do takich należy niewątpliwie tonometria we wszystkich swoich odmianach. Badania optyki gałki ocznej zaczęły nabierać znaczenia nieco później, w ostatnich dziesięcioleciach. Wiąże się to z nowymi możliwościami korygowania refrakcji oka. Właśnie wyniki takich badań przyczyniają się najmocniej do zmiany wizerunku układu optycznego tego narządu.

II. W czym tkwi problem?

O tym, że ciśnienie wewnątrzgałkowe (IOP) jest zmienne, wiadomo od dawna. W swym klasycznym dziele, przytaczanym przez Kaufmana i Alma [1], Adler opisuje kilka czynników podwyższających to ciśnienie. Samo tylko pulsowanie krwi jest powodem skoków IOP do 3 mmHg. Głębokie oddychanie lub pochylenie się zmienia ciśnienie o 5 mmHg. Zauważmy, że stanowi to aż jedną trzecią ciśnienia nominalnego (15–16 mmHg). Współcześnie prowadzone badania w tym zakresie wskazują wiele innych możliwości podniesienia ciśnienia wewnątrzgałkowego nawet o kilkadziesiąt mmHg – od prostego zaciskania mięśni aż po stanie na głowie. McMonnies [2] cytuje długi szereg takich prac. Pośród badanych przyczyn jest np. wysiłek połączony z dużym przekrwieniem twarzy – IOP przesadnie zaangażowanego w grę trębacza zmieniło się z 15 na 60 mmHg, a w jednym przypadku badany po silnym zaciśnięciu powiek uzyskał rekordową zmianę – 110 mmHg.

Rogówka jest nie tylko najmocniejszą soczewką oka (około 2/3 mocy całkowitej), ale jednocześnie jego najbardziej wiotkim elementem konstrukcyjnym. Gdyby nie ciśnienie wewnątrzgałkowe, nie byłaby w stanie przyjąć właściwego dla soczewki kształtu. A nawet pod tym obciążeniem wykazuje niewielkie, ale zauważalne, odstępstwo od symetrii osiowej. Ma to istotne konsekwencje optyczne, obejmujące przypadki zarówno naturalnego odchylenia od normy zdrowotnej, jak również praktyki chirurgicznej.

Zacznijmy od naiwnego, zdawałoby się, pytania – dlaczego po takim, opisywanym wyżej, skokowym przyroście ciśnienia wewnątrzgałkowego osoba o zdrowych oczach nie stwierdza żadnego zaburzenia ostrości widzenia? Zakładamy przy tym brak akomodacji – powiedzmy, że zmiany ciśnienia zachodzą w ciągu sekundy (a jeśli trudno na to przystać, niech to będzie osoba po 50. r.ż. albo po wszczepieniu sztucznych soczewek). Pytanie wydaje się naiwne, dlatego że nie dostrzegamy takich zaburzeń w codziennym doświadczeniu, a próba fizykalnego objaśnienia tej funkcji oka na gruncie tradycji nie przewiduje żadnych powodów ku temu. Tymczasem prawda jest taka, że po przyroście ciśnienia o kilkadziesiąt mmHg wierzchołek rogówki oddala się od dna oka o przeszło milimetr. Gdyby ognisko optyczne zostało o tyle przesunięte względem siatkówki, wymagałoby to korekcji około trzech dioptrii – taka zmiana byłaby więc wyraźnie zauważalna. Powyższe pytanie staje zatem przed nami z całą wyrazistością. Podobnie jak problem nieuzasadnionych przekonań pielęgnowanych przez całe stulecie. Należy do nich właśnie pogląd o wysokiej sztywności rogówki, wyrażony przed chwilą w sugestii, że rogówka i ognisko przesuwają się w takim sam sposób.

Zaobserwowane znaczne wahania IOP, w połączeniu z wiedzą o dużej podatności mechanicznej rogówki (a także twardówki, choć mniejszej), wskazują na niedostrzegany dotąd problem. Otóż w badaniach optyki oka musimy nie tylko uwzględniać jego dynamikę, ale także pokonywać stereotypy. Bardzo pomocny w obu przypadkach okazuje się model numeryczny ludzkiej gałki ocznej. Kiedy 10 lat temu zająłem się tym tematem, pierwszym powodem, dla którego opracowałem taki model, była potrzeba zbadania hipotetycznej właściwości oka określanej jako samonastawność optyczna. Po czasie wyraźnie dostrzegam, że drugim problemem – zupełnie zaskakującym – z którym przyszło mi się zmierzyć, były błędne przekonania wielu badaczy osadzone w realiach z przeszłości. Obowiązują one nadal.

III. Hipoteza samonastawności optycznej oka

Istnienie tego zjawiska postulował Kasprzak, i to właśnie z jego inicjatywy powstał wspomniany model. W zastosowaniu do realnego oka hipoteza ta ma całkiem proste brzmienie: jakość obrazu na siatkówce nieakomodującego oka nie zależy od ciśnienia wewnątrzgałkowego. A zmienia się ono czasem bardzo mocno, jak wiemy. Od modelu gałki ocznej hipoteza Kasprzaka wymaga stosunkowo łatwo sprawdzalnego działania: mianowicie wahania ciśnienia wewnętrznego wokół wartości nominalnej, o amplitudzie przynajmniej 30% tej wartości, nie powinny zauważalnie wpływać na położenie ogniska optycznego względem dna oka. Soczewka zachowuje przy tym stałą moc optyczną. Takie działanie modelu jest mało prawdopodobne, jeśli nie zostanie on specjalnie przygotowany do tego strukturalnie. Zwiększenie ciśnienia powoduje bowiem ekspansję gałki ocznej, w szczególności przemieszczenie rogówki do przodu i jednoczesny wzrost promienia krzywizny jej wierzchołka. Sztywne przemieszczenie rogówki przesuwa ognisko do przodu, przyrost promienia krzywizny wierzchołka przesuwa z kolei ognisko do tyłu. Tylko odpowiednio dobrane parametry strukturalne modelu numerycznego – geometryczne i materiałowe – sprawiają, że bezwzględne wartości tych przesunięć ogniska będą sobie równe. Położenie ogniska nie ulega wówczas zmianie. Model spełniający ten warunek nazywamy samonastawnym optycznie.

Okazało się, że zbudowanie tak działającej konstrukcji powłokowej jest zasadniczo możliwe, a osiągnięte rezultaty nawet przekroczyły nasze początkowe oczekiwania. Chociaż najciekawsze z późniejszych zastosowań modelu dotyczą tonometrii (przede wszystkim za sprawą przekonań lansowanych w literaturze, które nie znajdują oparcia w rozwiązaniach mechanicznych), cel, jaki sobie postawiliśmy na samym początku, został w pełni osiągnięty. Pozostała jeszcze ostatnia wątpliwość – fizyczna możliwość stworzenia takiej struktury wcale jeszcze nie dowodzi prawdziwości hipotezy oka samonastawnego optycznie. Pamiętajmy jednak, że w perspektywie mieliśmy również rozwiązanie przeczące tej możliwości, a wtedy te same obliczenia przesądziłyby los hipotezy oka samoczynnie utrzymującego ognisko w stałym położeniu. Tak się na szczęście nie stało.

Argumentów na rzecz samonastawnej gałki ocznej dostarczają badania okulistyczne. Ten sam McMonnies [2] przytacza taką oto obserwację: pacjent ze stożkiem rogówki dostrzegał pulsowanie obrazu synchroniczne z jego pulsem tętniczym. W tym szczególnym przypadku mogło to oznaczać, że zmiany ciśnienia około 2 mmHg są wystarczające do indukowania cyklicznego wybrzuszania się stożkowej rogówki. McMonnies uzasadnia ten efekt właśnie zmianami geometrii wierzchołka rogówki pod wpływem IOP, ponieważ po założeniu sztywnej soczewki kontaktowej zjawisko to zanikło. Rogówka z tą wadą strukturalną nie tworzy, jak widać, układu samonastawnego optycznie.

IV. Model obliczeniowy

Opisywane funkcje układu optycznego oka można dzisiaj całkiem skutecznie symulować numerycznie, czyli śledzić ewolucję rozwiązań zależną od dowolnego parametru (np. czasu), tak samo, jak dla innych konstrukcji mechanicznych. Poza wszystkimi zgłaszanymi zastrzeżeniami wobec takiego podejścia – bardzo poważnymi, przyznaję – ma ono jedną fundamentalną zaletę: kontrolujemy wszystkie istotne parametry układu optycznego. Tego w żadnym razie, jak dotąd, nie potrafimy osiągnąć w badaniach klinicznych.

Powłoki oka w omawianym tu modelu zostały ograniczone do trzech odrębnych obszarów różniących się materiałem – rogówki, rąbka i twardówki. Charakterystykę każdego z materiałów opisano funkcją wykładniczą, co oznacza, że zależność między naprężeniem a odkształceniem jest nieliniowa. Parametry materiału rogówki przyjęte zostały tak, aby:

• przemieszczenie jej wierzchołka podczas zwiększania IOP odpowiadało wynikom pomiaru przeprowadzonego przez Bryanta [3];
• sztywność modelu, rozumiana jako stosunek przyrostu jego objętości do przyrostu IOP, odpowiadała zmierzonej sztywności gałki ocznej [4];
• ciśnienie zewnętrzne, wywierane przez końcówkę tonometru, niezbędne do spłaszczenia wierzchołka rogówki na średnicy3,06 mm–jak w tonometrii aplanacyjnej Goldmanna –było równe ciśnieniu wewnętrznemu przy jego wartości nominalnej.

Konstrukcja rozwiązana była za pomocą profesjonalnego systemu, opartego na metodzie elementów skończonych, zaś obliczenia funkcji optycznych układu zdeformowanego ciśnieniem wewnętrznym prowadzone były przy użyciu oprogramowania autora, utworzonego specjalnie w tym celu.

Dane uzyskane w trzech wymienionych wyżej eksperymentach testują działanie całego modelu, wymagają zatem identyfikacji także twardówki i rąbka. Właśnie takie całościowe funkcjonowanie konstrukcji jest najtrudniejszą, a jednocześnie najbardziej zaniedbywaną w symulacjach numerycznych częścią jej projektowania. Wyniki prezentowane w literaturze wskazują bowiem, że każdy z obszarów – rogówka, twardówka i rąbek – jest badany indywidualnie, w oderwaniu do pozostałych. Ten „optyczny eklektyzm modelu” sprawia, że w najważniejszym zakresie jego potencjalnych zastosowań, czyli chirurgii refrakcyjnej, lekarz nadal ustawia „na oko” parametry korekcji w komputerze sterującym laserem, opierając się na doświadczeniu, a nie na rozwiązaniach numerycznych. Dzieje się tak dlatego, że nie udało się dotąd wdrożyć takiego globalnie zestrojonego optycznie modelu.

Identyfikację materiałów twardówki i rąbka oparliśmy zatem na hipotezie modelu samonastawnego. Ten pomysł okazał się trafiony.

Ryc. 2. Położenie ogniska względem dna oka, w zależności od IOP. Liczba Q jest stosunkiem modułów sprężystości twardówki i rogówki.

V. Materiał twardówki to też optyka

Biomechanika gałki ocznej jest wciąż jeszcze bardzo ubogą wiedzą. Możliwości tworzenia modelu numerycznego są zatem mocno ograniczone. Nie można na przykład wyposażyć go w zbyt dużą liczbę swobodnych parametrów, bo jego działanie okaże się niesprawdzalne empirycznie. Z tego względu parametry materiału rąbka i twardówki uzależnione zostały od parametrów materiału rogówki, tak że stanowią ich wielokrotność. Stosunek modułów sprężystości materiałów twardówki i rogówki, Q, jest zatem jedynym parametrem charakteryzującym materiał twardówki. Naturalnie wcześniej musimy jakoś ustalić materiał rogówki (nie jest to aż tak proste, ale do zrozumienia działania modelu samonastawnego wystarczające.)

Pierwszy etap obliczeń nakierowanych na położenie ogniska optycznego polega teraz na rozwiązaniu konstrukcji obciążonej ciśnieniem wewnętrznym, czyli na wyznaczeniu jej końcowej konfiguracji. Widać to na rys. 1 jako barwny wykres na tle konstrukcji nieobciążonej (dno oka jest nieruchome). Dla uproszczenia tego opisu rola rąbka została tu pominięta. Można przyjąć, że materiał w jego niewielkim obszarze stopniowo przechodzi od rogówki do twardówki. W drugim etapie obliczeń należy określić położenie głównej płaszczyzny obrazowej rogówki oraz jej nową ogniskową – po uprzednim wyznaczeniu aktualnego promienia krzywizny R. Wraz z rąbkiem wzdłuż osi przemieszcza się jednocześnie soczewka. Należy więc określić położenie głównej płaszczyzny obrazowej całego układu rogówka-soczewka oraz jego nową ogniskową. Teraz pozostaje jeszcze do wyznaczenia odległość ogniska od dna oka, bo właśnie ten dystans decyduje o jakości obrazu. Obliczenia te nie są łatwe, ponieważ wszystko się tu odkształca – ekspandująca twardówka, pierścień rąbkowy powiększający swoją średnicę i opisana już rogówka, osadzona na tym pierścieniu.

Wynika stąd, że na ostrość obrazu (czyli na położenie ogniska względem dna oka) wpływa nie tylko deformacja rogówki, ale także twardówki i rąbka, a decydujący wpływ na opisaną odkształcalność mają zadeklarowane w obliczeniach parametry materiałowe tych tkanek.

Wykresy na rys. 2 ilustrują wędrówkę ogniska podczas podnoszenia ciśnienia wewnętrznego w modelach różniących się stosunkiem sztywności Q twardówki i rogówki. Jeden wykres jest szczególny – dla Q = 5. Widać na nim, że ognisko przesuwające się początkowo wstecz po przekroczeniu IOP = 8 mmHg nieruchomieje i aż do końca badanego zakresu ciśnienia pozostaje w tym położeniu, zachowując odległość 1,3 mmod pozycji początkowej (która nie ma większego znaczenia). Projektując ten model, spodziewałem się co najwyżej, że ognisko przy ciśnieniu nominalnym po prostu zawróci, czyniąc go samonastawnym jedynie przy tej wybranej wartości ciśnienia. Proces ten jednak, co wynika z prezentowanej serii rozwiązań, idzie znacznie dalej. Geometria oka i materiały jego powłok zapewniają samonastawność w całym fizjologicznym zakresie ciśnienia. Wygląda na to, że konstrukcja gałki ocznej została dostosowana ewolucyjnie do tworzenia obrazu doskonale odpornego na tego rodzaju zaburzenia fizjologiczne. Patrząc na wykres dla Q = 5, chciałoby się nawet powiedzieć, że taki rezultat należało postulować a priori!

Iloraz Q = 5 dla modelu samonastawnego ma ciekawą konotację historyczną. Jeszcze w 1972 r. Woo ze współpracownikami [5] podał wyniki badań cytowane do dzisiaj w wielu publikacjach. Oprócz aproksymowanej wykładniczo krzywej rozciągania dla powłok oka znaleźć tam można także iloraz modułów sprężystości materiałów twardówki i rogówki zbliżony do 4,5. Woo nie zinterpretował fizykalnie otrzymanego wyniku, z naszej perspektywy widać jednak, że odkrył on ważny parametr optyczny gałki ocznej, bo tak skomponowana powłoka rogówkowo-twardówkowa zapewnia stałą pozycję ogniska względem siatkówki, niezależną od skoków ciśnienia wewnątrzgałkowego. To ścisłe sprzężenie mechaniki i optyki oka ma duże znaczenie praktyczne, ułatwia bowiem jego identyfikację. Stąd jest już prosta droga do zbudowania jednego z najskuteczniejszych narzędzi w chirurgii refrakcyjnej – modelu numerycznego gałki ocznej.

Lista cytowanych publikacji

1. Adler's Physiology of the Eye, Tenth Edition, Elsevier, Mosby Published, 2002, Editor: Paul Kaufman, Albert Alm.

2. McMonnies C.W., Boneham G.C.: Experimentally increased intraocular pressure using digital forces. Eye Contact Lens, 2007; 33: 124–129.

3. Bryant, M.R., McDonnell P.J.: Constitutive laws for biomechanical modeling of refractive surgery, J Biomech Eng, 1996; 118: 473–481.

4. Friedenwald J.S.: Contribution to the theory and practice of tonometry. Am J Ophthalmol, 1937; 20: 985–1024.

5. Woo S. L.-Y., Kobayashi A.S., Schlegel W.A., and Lawrence C.: Nonlinear material properties of intact cornea and sclera. Exp Eye Res, 1972; 14 (1): 29–39.

Przegląd Okulistyczny 2008, nr 1 (21), s. 6-7.